中学三年 第4回 『学習の診断分析』（数学編）
第四回診断テスト分析（数学）
【今回の診断は】
難易度は上がっている。
問２の問題形式が変わっていたのと、問４の会話文の問題ｈ戸惑ったかも知れない。ただ今後は高校以降の共通テストを見据えて会話文形式の問題も増えるかもしれない。
問３の（３）はどの三角形が相似かを全て見つけないと解けないので難しかったかもしれない。問５の関数は（２）が図のイメージが分かりにくい上に（３）で３パターンの計算をしないといけない。
問７の相似の証明はぜひ出来てほしい。
問８の証明は三角形の合同を使うことが分かるかがポイント。垂直であることにどうつなげたらよいかが分かりにくいかもしれない。
【次回の診断は】
１月の第五回の診断になる。平行線と比や相似と面積比・体積比、円周角の定理までが範囲になり、図形が難しくなってくる。普段の学習から丁寧に解いていこう。また冬休みは志望校を絞り込み受験に向けて集中していく時期になる。
一月には第五回の診断の後は私立高校の入試もある。試験が続いて焦る気持ちも出てくるかもしれないが、そのようなときこそ勉強のリズムをしっかりと保ち、やることを明確にして頑張っていこう。
問１は計算問題。
正負の数、文字式の計算、連立方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（４）の因数分解はまずaでくくる。そうするとｂ+１が前半と後半に出てくるのでｂ+１でくくると出来る（５）の平方根は先に（）の中を計算すると楽に出来る。
（６）の２次方程式はｘでくくるだけだが、ｘ＝０を忘れることがあるので気をつけよう。
問２は計算の応用。
（１）は真の値の範囲。１５．４なので１５．３５~１５．４５までとなる。あとはどちらに＝がつくか。小さい方である１５．３５に＝がつく。
（２）は文章から連立方程式が作られていて、ｘ、ｙが何を表しているかを答える問題。「ｘ＝ｙ−３２」で３２分なのでｘ、ｙは時間であることがわかる。
（３）は２元１次方程式についての問題。まずは文章から式を求める。「３０ｘ+１１０ｙ＝５００」となる。あとはｙ＝１のとき、ｙ＝２のとき…と順に考えると、ｙ＝１とｙ＝４で成立すると分かる。答えは２通り。
（４）は解が○○になるときの２次方程式を考える問題。ｘに代入すればよいが今回は代入するのがaのため少し戸惑ったかもしれない。aの２次方程式になるので因数分解して解けばよい。
（５）は√と正方形の面積についての問題。正方形の面積が分かれば、１辺の長さは面積の平方根になる。
問３は図形の問題。
（１）は立体の位置関係について問われた。今回はねじれについて。ぶつかることも平行ではない２本の線がねじれとなる。
（２）は角度の問題。点Cを中心とした回転移動を考える。回転の中心からの長さが等しいので二等辺三角形が出来る。
（３）は相似を使って辺の比を求める問題。平行四辺形の性質や与えられている辺の長さを使うと三角形ＡＢＣ、三角形ＣＢＦ、三角形ＤＧＦはすべて相似になり、ＧＤの長さは２�僂砲覆襦�
三角形ＣＨＢと三角形ＥＨＧも相似になり、相似比は８：５となる。ＣＨとＨＥの比も８：５になり、辺ＨＣは辺ＥＣの１３分の８倍になる。
（４）は転がる円錐の問題。円錐は２回半回転しているので、大きい円の円周は円錐の底面の円周の２．５倍で３０πになる。
ここから大きい円の半径、つまり円錐の母線が１５�僂畔�かるので、円錐の表面積を出せる。円錐の側面のおうぎ形の表面積は「半径×弧÷２」で出すと楽に求められる。今後三平方の定理を使った問題でも使うことがあるので覚えておこう。
問４は規則性の問題。
共通テストのように会話文が出てきた。初めての問題形式で戸惑ったかもしれない。（１）の�，呂世鵑世鸚喫�形が増えていくので数えればよい。
�△�規則性の問題のポイントになる。ｎ段のときにどうなるか？今回は会話文で誘導してくれているように長方形を考えよう。「ｎ×（ｎ＋１）」になることが分かれば÷２をすれば表せる。
（２）は（１）で考えたｎ段の枚数を使って方程式を作り、解く。かけて１５６足して１になる数字を考えるのが少し大変だが、解の公式を使うともっと大変なのでがんばろう。地道に１×１５６、２×７８、３×５２…としていけば１３×１２が出てくる。
問５は関数の問題。
点Ｐ、Ｑが動く問題。（１）は３秒後で点Ｐ、Ｑともに３�册阿�ので三角形ＡＰＱの面積は分かる。このときはｘ×ｘ÷２の２次関数になる。
（２）は点が２つ動くので図のイメージがしにくいかもしれない。点Ｐは辺ＢＣ上を動き点Ｃで止まる。点Ｑは辺ＡＤ上をＤからＡに戻る。
点Ｐが辺ＢＣ上を動くので三角形ＡＰＱの高さは６�僂埜把蠅砲覆襦Ｊ儔修垢襪里錬腺僂猟垢気如△海海錬隠供檻�になり底辺になる。あとは三角形の面積の公式に当てはめると１次関数の式が出る。
（３）は（２）で求めた１次関数の式と、（１）で考えた２次関数を用いて、ｙ＝８となるときの方程式を解く。ｘの変域に気を付けて求めよう。
問６は１次方程式の文章題。
２５０円の年会費を払うと５％引きになるという、現実でもありそうな問題。５％引きを０．９５ｘで表し２５０円を足して方程式を作る。解の確かめも忘れないこと。
問７は三角形の相似の証明。
とても素直な問題。仮定より１組の角が等しい。あとは∠Aが共通の角で等しいことを示せばよい。２組の角がそれぞれ等しくなる。相似の証明としてはかなり簡単な問題。確実に書けるようにしたい。
問８は２つの正方形がある図で辺が垂直であることを証明する。まずは三角形ＢＣＧと三角形ＤＣＥが合同であることを示す。仮定より正方形の辺だから２組の辺が等しいことが分かる。また∠ＢＣＧと∠ＤＣＥが９０°で等しい。
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同になる。次に三角形ＢＣＧと三角形ＤＨＧが相似であることを示す。三角形ＢＣＧと三角形ＤＣＥが合同なので対応する角が等しくなる。∠ＣＢＧ＝∠ＨＤＧ。
対頂角が等しいから∠ ＢＧＣ＝∠ＤＧＨ。２組の角がそれぞれ等しいので相似になる。よって∠ＢＣＧ＝∠ＤＨＧ＝９０°になる。∠ＤＨＧ＝９０°だからＢＨ⊥ＤＥといえる。
【今回の診断は】
難易度は上がっている。
問２の問題形式が変わっていたのと、問４の会話文の問題ｈ戸惑ったかも知れない。ただ今後は高校以降の共通テストを見据えて会話文形式の問題も増えるかもしれない。
問３の（３）はどの三角形が相似かを全て見つけないと解けないので難しかったかもしれない。問５の関数は（２）が図のイメージが分かりにくい上に（３）で３パターンの計算をしないといけない。
問７の相似の証明はぜひ出来てほしい。
問８の証明は三角形の合同を使うことが分かるかがポイント。垂直であることにどうつなげたらよいかが分かりにくいかもしれない。
【次回の診断は】
１月の第五回の診断になる。平行線と比や相似と面積比・体積比、円周角の定理までが範囲になり、図形が難しくなってくる。普段の学習から丁寧に解いていこう。また冬休みは志望校を絞り込み受験に向けて集中していく時期になる。
一月には第五回の診断の後は私立高校の入試もある。試験が続いて焦る気持ちも出てくるかもしれないが、そのようなときこそ勉強のリズムをしっかりと保ち、やることを明確にして頑張っていこう。
問１は計算問題。
正負の数、文字式の計算、連立方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（４）の因数分解はまずaでくくる。そうするとｂ+１が前半と後半に出てくるのでｂ+１でくくると出来る（５）の平方根は先に（）の中を計算すると楽に出来る。
（６）の２次方程式はｘでくくるだけだが、ｘ＝０を忘れることがあるので気をつけよう。
問２は計算の応用。
（１）は真の値の範囲。１５．４なので１５．３５~１５．４５までとなる。あとはどちらに＝がつくか。小さい方である１５．３５に＝がつく。
（２）は文章から連立方程式が作られていて、ｘ、ｙが何を表しているかを答える問題。「ｘ＝ｙ−３２」で３２分なのでｘ、ｙは時間であることがわかる。
（３）は２元１次方程式についての問題。まずは文章から式を求める。「３０ｘ+１１０ｙ＝５００」となる。あとはｙ＝１のとき、ｙ＝２のとき…と順に考えると、ｙ＝１とｙ＝４で成立すると分かる。答えは２通り。
（４）は解が○○になるときの２次方程式を考える問題。ｘに代入すればよいが今回は代入するのがaのため少し戸惑ったかもしれない。aの２次方程式になるので因数分解して解けばよい。
（５）は√と正方形の面積についての問題。正方形の面積が分かれば、１辺の長さは面積の平方根になる。
問３は図形の問題。
（１）は立体の位置関係について問われた。今回はねじれについて。ぶつかることも平行ではない２本の線がねじれとなる。
（２）は角度の問題。点Cを中心とした回転移動を考える。回転の中心からの長さが等しいので二等辺三角形が出来る。
（３）は相似を使って辺の比を求める問題。平行四辺形の性質や与えられている辺の長さを使うと三角形ＡＢＣ、三角形ＣＢＦ、三角形ＤＧＦはすべて相似になり、ＧＤの長さは２�僂砲覆襦�
三角形ＣＨＢと三角形ＥＨＧも相似になり、相似比は８：５となる。ＣＨとＨＥの比も８：５になり、辺ＨＣは辺ＥＣの１３分の８倍になる。
（４）は転がる円錐の問題。円錐は２回半回転しているので、大きい円の円周は円錐の底面の円周の２．５倍で３０πになる。
ここから大きい円の半径、つまり円錐の母線が１５�僂畔�かるので、円錐の表面積を出せる。円錐の側面のおうぎ形の表面積は「半径×弧÷２」で出すと楽に求められる。今後三平方の定理を使った問題でも使うことがあるので覚えておこう。
問４は規則性の問題。
共通テストのように会話文が出てきた。初めての問題形式で戸惑ったかもしれない。（１）の�，呂世鵑世鸚喫�形が増えていくので数えればよい。
�△�規則性の問題のポイントになる。ｎ段のときにどうなるか？今回は会話文で誘導してくれているように長方形を考えよう。「ｎ×（ｎ＋１）」になることが分かれば÷２をすれば表せる。
（２）は（１）で考えたｎ段の枚数を使って方程式を作り、解く。かけて１５６足して１になる数字を考えるのが少し大変だが、解の公式を使うともっと大変なのでがんばろう。地道に１×１５６、２×７８、３×５２…としていけば１３×１２が出てくる。
問５は関数の問題。
点Ｐ、Ｑが動く問題。（１）は３秒後で点Ｐ、Ｑともに３�册阿�ので三角形ＡＰＱの面積は分かる。このときはｘ×ｘ÷２の２次関数になる。
（２）は点が２つ動くので図のイメージがしにくいかもしれない。点Ｐは辺ＢＣ上を動き点Ｃで止まる。点Ｑは辺ＡＤ上をＤからＡに戻る。
点Ｐが辺ＢＣ上を動くので三角形ＡＰＱの高さは６�僂埜把蠅砲覆襦Ｊ儔修垢襪里錬腺僂猟垢気如△海海錬隠供檻�になり底辺になる。あとは三角形の面積の公式に当てはめると１次関数の式が出る。
（３）は（２）で求めた１次関数の式と、（１）で考えた２次関数を用いて、ｙ＝８となるときの方程式を解く。ｘの変域に気を付けて求めよう。
問６は１次方程式の文章題。
２５０円の年会費を払うと５％引きになるという、現実でもありそうな問題。５％引きを０．９５ｘで表し２５０円を足して方程式を作る。解の確かめも忘れないこと。
問７は三角形の相似の証明。
とても素直な問題。仮定より１組の角が等しい。あとは∠Aが共通の角で等しいことを示せばよい。２組の角がそれぞれ等しくなる。相似の証明としてはかなり簡単な問題。確実に書けるようにしたい。
問８は２つの正方形がある図で辺が垂直であることを証明する。まずは三角形ＢＣＧと三角形ＤＣＥが合同であることを示す。仮定より正方形の辺だから２組の辺が等しいことが分かる。また∠ＢＣＧと∠ＤＣＥが９０°で等しい。
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同になる。次に三角形ＢＣＧと三角形ＤＨＧが相似であることを示す。三角形ＢＣＧと三角形ＤＣＥが合同なので対応する角が等しくなる。∠ＣＢＧ＝∠ＨＤＧ。
対頂角が等しいから∠ ＢＧＣ＝∠ＤＧＨ。２組の角がそれぞれ等しいので相似になる。よって∠ＢＣＧ＝∠ＤＨＧ＝９０°になる。∠ＤＨＧ＝９０°だからＢＨ⊥ＤＥといえる。
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