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中学三年 第3回 『学習の診断分析』(数学編)

第三回診断テスト分析(数学)

【今回の診断は】

前回よりは易しかった。問1,2の計算は難しくはないレベル。問3も苦戦する生徒が多い面積比を使う問題がなった。問4の箱ひげ図は診断では見かけない問題だったが、問われている内容は難しくなかった。問6の文字を使う証明は入試で問われることもあるので、出来なかったなら復習しておこう。問5の関数よくあるタイプの問題で難しくはない。

問1は計算問題。

正負の数、文字式の計算、一次方程式、因数分解、平方根、2次方程式が出題された。(4)の因数分解はまず4でくくることを忘れないようにしよう。学習した単元で計算問題として出やすいのはここまでになる。ここで点を落とすのはもったいない。とにかく計算の練習をして、確実にここで点を取るようにしよう。

問2は計算の応用。

文字式で表す、平方根の利用、平方根の大小、解から元の二次方程式を考える問題などが出題された。(3)は√の両側の数を二乗してから比べる。小数でも気にせずに二乗しよう。12.25より小さくなるので12も含まれる。

問3は図形からの出題。

(1)はねじれ。展開図を組み立てて、平行な辺、交わっている辺を除くと答えになる。今回は問われなかったが、延長して交わる辺も除こう。

(2)は角度の問題。二等辺三角形の性質から角度が分かる。

(3)は回転移動について。どの点が回転の中心になるかで変わってくる。線分の途中に中心がある場合もあるので気を付けて見つけよう。

(4)は立体の体積を求める問題。求める立体が結局は底面が長方形BEFCで高さが辺ABの四角錐だと分かるかがポイントとなる。あとは四角錐の体積である「底面積×高さ÷3」に当てはめるだけ。

(5)は折り返した図形の中の角度を求める問題。折り返しているので∠ABE=∠FBE。またFBの長さとABの長さは等しく、ABCDが正方形なのでBCの長さも等しくなる。つまり△BCFはBC=BFの二等辺三角形になる。これらを用いて求める角度を出す。

問4は箱ひげ図の問題。

箱ひげ図からは最大値と最小値や第1、第2、第3四分位数が分かる。(1)は四分位範囲=第3四分位数−第1四分位数を知っていれば解ける問題。

(2)は箱ひげ図の読み取り。35人いるので、第2四分位数(中央値)で18人目、第3四分位数で上位8人までとなる。

問5は一次関数の問題。

グラフを読み取る問題。時間が横軸、距離が縦軸で人が移動する。題材としてはよくあるものになる。傾きが速さになる。どこの部分について問われているか気をつける。

(1)ではランの道のりを求める。ランは三番目なので40000m−31500mで8500m。(2)は速さ。スイムは初めの部分。20分で1500m進んでいるので、1500÷20=75となる。(3)はグラフから式を求める問題。バイク競技は二番目。(20,1500)スタートで(70,31500)到着。二つの点が分かっているのでy=ax+bに代入して計算するとよい。(4)は(3)で求めた式を利用する。7.5km地点なのでy=7500を代入。x=30が分かるが、知りたいのはその5分前。よって25分となる。

問6は文字を使っての証明。「連続する2つの奇数」を使う、文字を使った証明としてはよくあるタイプの問題。2乗の差を考える。計算をする前に「nは整数」であることや、「連続する2つの奇数は2n+1、2n+3と表される」などをきちんと書いておかないといけない。「8の倍数になる」ことを示したいので、「8n+8」で終わりではなく、「8(n+1)」までしておく。

問7は二次方程式の文章題。

2つの円の面積の和についての問題。APの長さがxなので、BPの長さは10−xとなる。円の半径が必要なので半分にしてから2乗することを忘れないこと。x=4とx=6が出るが、AP <BPよりx=4が正しい答えになる。

問8は図形の証明。

二つの辺が等しいことを示す。正方形の一部なので辺が等しいことや、角が90°であることが使える。∠DCF=90°−∠BCE、三角形の内角の和が180°より∠CBE=90°−∠BCEとなるので∠DCF=∠CBE。あとは直角三角形の合同条件を使えばよい。

【次回の診断は】

2次関数と相似な図形までが範囲になる。2次関数は受験でもよく出題される単元。aの求め方、変域や変化の割合、グラフと直線の問題などを解けるようにしておこう。また相似な図形は中三後半の図形の内容の基礎となる。ここが分かってないと、中三で習う図形全体を苦戦する。しっかりと理解していきたい。
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