中学三年 第4回 『学習の診断分析』（数学編）
第四回診断テスト分析（数学）
【今回の診断は】
前回よりは難易度は上がったと思う。問２の（５）は高校では習うが中学校ではあまり見ないタイプの問題だった。問２の（３）は表が何を表しているかを気をつけないと間違えるし、（３）は単純な因数分解ではなく余りが出る形に変形しないといけないので戸惑ったかもしれない。
問４の規則性は７番目の次に１番目がくることが分かればできたかもしれない。問６の文章題は板と板の間隔が１減ることが気づかないと式が変になる。問７の相似の証明はぜひ出来てほしい。問８の証明は三角形の合同を使うことは分かっても、平行四辺形であることにどうつなげたらよいかが分かりにくいかもしれない。
【次回の診断は】
１月の第五回の診断になる。平行線と比や相似と面積比・体積比、円周角の定理までが範囲になり、図形が難しくなってくる。普段の学習から丁寧に解いていこう。
また期末試験が終わると気が緩みがちだが、ここからは志望校を絞り込み受験に向けて集中していく時期になる。一月には第五回の診断の後は私立高校の入試もある。冬休みの間に、やりきれてない単元や苦手な単元を全力で克服しておこう。
同時に出来ている問題を確実に点が取れるようにするための練習も必要になる。やることを明確にして頑張っていこう。
問１は計算問題。
正負の数、文字式の計算、連立方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（４）はまず２ｙでくくる。（）の中も因数分解すること。
問２は計算の応用。
（１） は正と負の数について。考えにくいならａとｂに具体的な数字を入れてもいい。割り算は確実に自然数にはならないことも覚えておこう。
（２）は文字式を引いた計算結果から引いた式を求める問題。求める式をＡなどで置いて方程式として考えるとよい。
（３）は表から平均を求める問題。一見よくある形だが前日との差が出ているので気をつけよう。いつもの月曜日との差が出ている表にしてみると分かりやすい火曜日が−１３、水曜日が−４なので、月曜日との差は水曜日は−１７となる。あとは金曜日までを足して÷５をすると−３０÷５で−６。月曜日の８６と計算して８０人が答えになる。
（４）は文字式に代入する問題。代入する前に変形しておくとやりやすい。（５）は因数分解を利用して値を求める問題。左辺だけを因数分解すると（ａ＋１）（ｂ＋１）＝３５となる。ａとｂは自然数なので５×７だと当てはまる。ａ＝４とｂ＝６となる。
問３は図形の問題。
（１）は角度の問題。錯角を２回使って求める。（２）は図形の性質について問われた。ひし形や長方形、正方形の定義や性質を覚えておくとよい。今回はひし形になる条件のなので、４つの辺の長さが等しいことと対角線が垂直に交わること。
（３）はおうぎ形の面積を求める問題。「半円＋おうぎ形」から「半円」を引くと色のついた部分の面積は求められる。つまり「おうぎ形」の計算だけで良い事になる。おうぎ形の面積の公式は覚えておくこと。
（４）は相似を使って辺の長さを求める。平行四辺形の中のどの三角形が相似かを見極めないといけない。平行四辺形なので錯角が等しいことを使える。あとは辺の長さが分かるので「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」より、三角形ＡＥＢと三角形ＤＡＥが相似となる。答えは分数になるが相似比の問題ではよくある形。慣れよう。
問４は規則性の問題。
（１）は表の７番目が７の倍数になっていることに気づくと分かりやすい。（２）はｎ行目ではなくｎ−１行目の７番目を考えると７（ｎ−１）となる。
n行目の１番目は７（ｎ−１）＋１、つまり７ｎ−６が答えになる。
（３）は（２）で考えたｎ行目の１番目とｎ行目の７番目である７ｎの和が
３ n３０になっているので方程式を立てて、解けばよい。
問５は２次関数の問題。
（１）では分かっている点Ａの座標を代入してａを出す。２次関数の解き始めとしては絶対に出来てほしい問題。（２）は（１）で求めたａを用いて点Ｂのｙ座標を求める。点ＡとＢの座標が分かっているので、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立するとよい。
（２）は（２）で求めた直線ＡＢの式を使う。直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする。三角形ＯＡＢと三角形ＡＢＤの面積を比べるが、この２つの三角形は辺ＡＢが共通しているので面積はＯＣの長さとＣＤの長さで変わってくる。
点Ｃは（０，−４）なのでＯＣの長さは４、三角形ＯＡＢと三角形ＡＢＤの面積比が１：３なのでＣＤの長さは１２で考える。点Ｄは点Ｃより１２下がった点なので（０，−１２）となる。ｄ＝−１２。
問６は１次方程式の文章題。柱と柱の間に板を何枚か入れて柵を作る。
板をｘ枚にすると、板と板の間隔はｘ−１あることに注意。板の幅×ｘ枚と、板と板の間隔×（ｘ−１）の合計が柱と柱の間の長さになる。
板の幅は９０�僉�板と板の間隔は２０�僉�柱と柱の間の長さが２４ｍなので、式は９０ｘ＋２０（ｘ−１）＝２４００となる。２４ｍを２４００�僂吠僂┐襪里鯔困譴覆い茲Δ砲靴茲Α２鬚粒里�めも忘れないこと。
問７は三角形の相似の証明。
とても素直な問題。仮定より一つの角が同じで、∠Ｂが共通なので、２組の角がそれぞれ等しくなる。相似の証明として「２組の角がそれぞれ等しくなる」はかなり定番の問題。確実に書けるようにしたい。
問８は四角形ＡＣＤFが平行四辺形であることの証明。
仮定より三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが合同であることが分かっている。またＡＥとＢＤが平行であることも分かっている。求めたい四角形ＡＣＤFはＡＥとＢＤが平行であることを使うと、ＡＦとＣＤも平行になることがすぐに分かる。
そうなると、平行四辺形になる５つの条件のうち「２組の対辺がそれぞれ平行」か「１組の対辺が平行で、長さが等しい」が使えそうだと考えてみる。三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが合同なので、対応する角は等しい。
またＡＥとＢＤが平行であるから錯角は等しくなるので、∠ＤＥＦ＝∠ＣＡＦがいえる。同位角が等しいのでＡＣとＦＤは平行。「２組の対辺がそれぞれ平行」がいえるので四角形ＡＣＤFは平行四辺形であることがわかる。平行四辺形になる５つの条件もきちんと覚えておきたい。
【今回の診断は】
前回よりは難易度は上がったと思う。問２の（５）は高校では習うが中学校ではあまり見ないタイプの問題だった。問２の（３）は表が何を表しているかを気をつけないと間違えるし、（３）は単純な因数分解ではなく余りが出る形に変形しないといけないので戸惑ったかもしれない。
問４の規則性は７番目の次に１番目がくることが分かればできたかもしれない。問６の文章題は板と板の間隔が１減ることが気づかないと式が変になる。問７の相似の証明はぜひ出来てほしい。問８の証明は三角形の合同を使うことは分かっても、平行四辺形であることにどうつなげたらよいかが分かりにくいかもしれない。
【次回の診断は】
１月の第五回の診断になる。平行線と比や相似と面積比・体積比、円周角の定理までが範囲になり、図形が難しくなってくる。普段の学習から丁寧に解いていこう。
また期末試験が終わると気が緩みがちだが、ここからは志望校を絞り込み受験に向けて集中していく時期になる。一月には第五回の診断の後は私立高校の入試もある。冬休みの間に、やりきれてない単元や苦手な単元を全力で克服しておこう。
同時に出来ている問題を確実に点が取れるようにするための練習も必要になる。やることを明確にして頑張っていこう。
問１は計算問題。
正負の数、文字式の計算、連立方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（４）はまず２ｙでくくる。（）の中も因数分解すること。
問２は計算の応用。
（１） は正と負の数について。考えにくいならａとｂに具体的な数字を入れてもいい。割り算は確実に自然数にはならないことも覚えておこう。
（２）は文字式を引いた計算結果から引いた式を求める問題。求める式をＡなどで置いて方程式として考えるとよい。
（３）は表から平均を求める問題。一見よくある形だが前日との差が出ているので気をつけよう。いつもの月曜日との差が出ている表にしてみると分かりやすい火曜日が−１３、水曜日が−４なので、月曜日との差は水曜日は−１７となる。あとは金曜日までを足して÷５をすると−３０÷５で−６。月曜日の８６と計算して８０人が答えになる。
（４）は文字式に代入する問題。代入する前に変形しておくとやりやすい。（５）は因数分解を利用して値を求める問題。左辺だけを因数分解すると（ａ＋１）（ｂ＋１）＝３５となる。ａとｂは自然数なので５×７だと当てはまる。ａ＝４とｂ＝６となる。
問３は図形の問題。
（１）は角度の問題。錯角を２回使って求める。（２）は図形の性質について問われた。ひし形や長方形、正方形の定義や性質を覚えておくとよい。今回はひし形になる条件のなので、４つの辺の長さが等しいことと対角線が垂直に交わること。
（３）はおうぎ形の面積を求める問題。「半円＋おうぎ形」から「半円」を引くと色のついた部分の面積は求められる。つまり「おうぎ形」の計算だけで良い事になる。おうぎ形の面積の公式は覚えておくこと。
（４）は相似を使って辺の長さを求める。平行四辺形の中のどの三角形が相似かを見極めないといけない。平行四辺形なので錯角が等しいことを使える。あとは辺の長さが分かるので「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」より、三角形ＡＥＢと三角形ＤＡＥが相似となる。答えは分数になるが相似比の問題ではよくある形。慣れよう。
問４は規則性の問題。
（１）は表の７番目が７の倍数になっていることに気づくと分かりやすい。（２）はｎ行目ではなくｎ−１行目の７番目を考えると７（ｎ−１）となる。
n行目の１番目は７（ｎ−１）＋１、つまり７ｎ−６が答えになる。
（３）は（２）で考えたｎ行目の１番目とｎ行目の７番目である７ｎの和が
３ n３０になっているので方程式を立てて、解けばよい。
問５は２次関数の問題。
（１）では分かっている点Ａの座標を代入してａを出す。２次関数の解き始めとしては絶対に出来てほしい問題。（２）は（１）で求めたａを用いて点Ｂのｙ座標を求める。点ＡとＢの座標が分かっているので、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立するとよい。
（２）は（２）で求めた直線ＡＢの式を使う。直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする。三角形ＯＡＢと三角形ＡＢＤの面積を比べるが、この２つの三角形は辺ＡＢが共通しているので面積はＯＣの長さとＣＤの長さで変わってくる。
点Ｃは（０，−４）なのでＯＣの長さは４、三角形ＯＡＢと三角形ＡＢＤの面積比が１：３なのでＣＤの長さは１２で考える。点Ｄは点Ｃより１２下がった点なので（０，−１２）となる。ｄ＝−１２。
問６は１次方程式の文章題。柱と柱の間に板を何枚か入れて柵を作る。
板をｘ枚にすると、板と板の間隔はｘ−１あることに注意。板の幅×ｘ枚と、板と板の間隔×（ｘ−１）の合計が柱と柱の間の長さになる。
板の幅は９０�僉�板と板の間隔は２０�僉�柱と柱の間の長さが２４ｍなので、式は９０ｘ＋２０（ｘ−１）＝２４００となる。２４ｍを２４００�僂吠僂┐襪里鯔困譴覆い茲Δ砲靴茲Α２鬚粒里�めも忘れないこと。
問７は三角形の相似の証明。
とても素直な問題。仮定より一つの角が同じで、∠Ｂが共通なので、２組の角がそれぞれ等しくなる。相似の証明として「２組の角がそれぞれ等しくなる」はかなり定番の問題。確実に書けるようにしたい。
問８は四角形ＡＣＤFが平行四辺形であることの証明。
仮定より三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが合同であることが分かっている。またＡＥとＢＤが平行であることも分かっている。求めたい四角形ＡＣＤFはＡＥとＢＤが平行であることを使うと、ＡＦとＣＤも平行になることがすぐに分かる。
そうなると、平行四辺形になる５つの条件のうち「２組の対辺がそれぞれ平行」か「１組の対辺が平行で、長さが等しい」が使えそうだと考えてみる。三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが合同なので、対応する角は等しい。
またＡＥとＢＤが平行であるから錯角は等しくなるので、∠ＤＥＦ＝∠ＣＡＦがいえる。同位角が等しいのでＡＣとＦＤは平行。「２組の対辺がそれぞれ平行」がいえるので四角形ＡＣＤFは平行四辺形であることがわかる。平行四辺形になる５つの条件もきちんと覚えておきたい。
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