中学三年 総合第１回 『学習の診断分析』（数学編）
総合第一回診断テスト分析（数学）
【今回の診断】
難易度は難しかった。問７の証明は図がややこしい上に比が等しいことを使って、平行であり、そこから同位角なので等しいことを示さないといけない。こういう証明もあることを知っておこう。問２の図形問題は解きにくかったかもしれない。円周角の定理の逆を使い、同一円周上にあると分からないと解けない問題があった。図形では少し前に学習した平行線と比あたりを忘れてしまっているかもしれない。三平方の定理や円周角など最近学習した単元も入試では良く出題される。図形は腰を据えて復習しておこう。
【入試に向けて】
また診断ではあまり見かけないタイプの問題も入試では問われることがある。入試では様々なタイプの問題や融合問題もあるので慣れておこう。難しい事は問われていなくても、忘れていたり、あいまいだったりすると苦戦する。一年内容も復習しておくことと、融合問題が出てもあわてないで考えよう。
志望校も決まって最後の追い込みになる。計算は確実にできるようになること。図形も練習次第でまだまだ伸びる。どれだけ量をこなせるか、真剣に向き合えるかが勝負。あわてず、でも緊張感も失わずに練習していこう。
問１は計算問題。
正負の数、文字式の計算、１次方程式、因数分解、平方根、等式の変形などが問われた。計算問題でミスしないように、徹底的に練習しておこう。（４）の因数分解はまず４でくくる。（６）「３ａ＋１２０円の品物を買おうとしたがｂ円では足りない」ということなので３ａ＋１２０はｂより大きくなる。
（９）√の中は９でくくれるので、くくって√の外に出す。√の中は７−ｎになるので、７−ｎが整数の２乗になればよい。２乗になる１や４になればよいのでｎ＝３、６。整数なので０もある。ｎ＝７も忘れないようにしよう。
問２は図形の問題。
図形の移動、直線と平面の位置関係、三平方の定理を使っての長さ、円周角の定理の逆を使っての角度、面積比が問われた。（１）は対称移動について。対称の軸をどこに取ると移動できるかを考える。（３）はまず展開図を書いてみよう。
正四面体なので一つの面は正三角形。角度は６０°になるので三平方の定理で長さを計算することができる。（４）は実は円周角の定理の逆。∠ＢＤＣ＝∠ＢＥＣ＝７０°までは分かっても、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅが同一円周上にあると気づくのは難しいかもしれない。そこが分かれば同じ弧に対する円周角は等しいので∠ＣＥＤ＝２０°となり、∠ＤＢＥ＝３０°、ｘ＝４０°と分かる。
（５）は相似を使って面積比を求める問題。向かい合う三角形は相似であることが多い。また隣り合う三角形の面積比は底辺の比になることも用いる。
問３はヒストグラムと箱ひげ図を使った問題。
（１）は中央値。全部で３５人なので１８人目が中央値になる。６０分以上１２０分未満の階級にあるが階級値なので９０分を答える。
（２）は箱ひげ図の読み取り。最大値を考えるとアかウになる。第３四分位数は２７人目なので１８０分以上２４０分未満の階級にある。答えはア。中央値や四分位数以外に平均値、最頻値、範囲など、それぞれの値の求め方は知っておこう。
問４は規則性の問題。
数がある規則にしたがって並んでいる。（１）左端の数は１，４，９・・・となっているので段の数の２乗と分かる。右端は左端の数から段の数−１増やす。７段目の右端は４９＋６で５５になる。
（２）ｎ段目の右端の数はｎの２乗＋ｎ−１。ｎ＋１段目の右端の数も同じようにして表せるので引いてみる。１００になるのはｎ＝４９。
問５は関数の問題。
放物線と直線が引いてある、図としてはよくある形。（１）ｙ＝ｘ＋６上に点Ａ、Ｂのｘ座標を代入すればｙ座標は分かる。あとは放物線に代入すればよい。
（２）は面積比から点Ｐの座標を求める。三角形ＡＯＰをy軸の左右で分けて考えてみる。面積は左側は６×２÷２＝６、右側は６×ｔ÷２＝３ｔで３ｔ＋６になる。三角形ＢＯＰの面積は９−３ｔとなる。あとは比の計算をすればよい。
（３）長方形の周りの長さを式で表して方程式をつくる。このタイプの問題は点Ｐ、Ｑ、Ｒの座標を先にｔで表しておこう。ｘ座標は３つともｔなので、ｙ座標は点Ｐはｔ＋６、点Ｑはｔ２乗、点Ｒは０になる。
長さは「上−下」で考えればよいので、ＰＱの長さはｔ＋６−ｔ２乗、ＱＲの長さはｔ２乗となる。あとは「長方形の周りの長さが等しい」ことから式をつくり解く。因数分解ではなく解の公式になるがｔは出るので問題文にあるｔの範囲に合う方を選ぼう。
問６は連立方程式の文章題。
値段と本数から売上を求める。２日目の午前と午後で値段も本数も違うことに注意。１日目、２日目の午前、２日目の午後で表を作ると分かりやすい。
本数は「２日目が１日目より４０本多かった」なので、「２日目午前＋午後＝１日目＋４０」で式が出来る。売上は５００００円なので「１日目＋２日目午前＋午後＝５００００」でよい。出した解が問題に合っているかの確認は忘れないこと。
問７は図形の証明。
長方形の中と外に線が引かれている。辺の比もある程度分かっている。二つの三角形が合同であることを証明する。長方形なので対辺が等しいことや、平行なので錯角が等しいことが使える。あと一つ角か辺が等しければよい。辺の比を使って角が等しいことを示す。
【今回の診断】
難易度は難しかった。問７の証明は図がややこしい上に比が等しいことを使って、平行であり、そこから同位角なので等しいことを示さないといけない。こういう証明もあることを知っておこう。問２の図形問題は解きにくかったかもしれない。円周角の定理の逆を使い、同一円周上にあると分からないと解けない問題があった。図形では少し前に学習した平行線と比あたりを忘れてしまっているかもしれない。三平方の定理や円周角など最近学習した単元も入試では良く出題される。図形は腰を据えて復習しておこう。
【入試に向けて】
また診断ではあまり見かけないタイプの問題も入試では問われることがある。入試では様々なタイプの問題や融合問題もあるので慣れておこう。難しい事は問われていなくても、忘れていたり、あいまいだったりすると苦戦する。一年内容も復習しておくことと、融合問題が出てもあわてないで考えよう。
志望校も決まって最後の追い込みになる。計算は確実にできるようになること。図形も練習次第でまだまだ伸びる。どれだけ量をこなせるか、真剣に向き合えるかが勝負。あわてず、でも緊張感も失わずに練習していこう。
問１は計算問題。
正負の数、文字式の計算、１次方程式、因数分解、平方根、等式の変形などが問われた。計算問題でミスしないように、徹底的に練習しておこう。（４）の因数分解はまず４でくくる。（６）「３ａ＋１２０円の品物を買おうとしたがｂ円では足りない」ということなので３ａ＋１２０はｂより大きくなる。
（９）√の中は９でくくれるので、くくって√の外に出す。√の中は７−ｎになるので、７−ｎが整数の２乗になればよい。２乗になる１や４になればよいのでｎ＝３、６。整数なので０もある。ｎ＝７も忘れないようにしよう。
問２は図形の問題。
図形の移動、直線と平面の位置関係、三平方の定理を使っての長さ、円周角の定理の逆を使っての角度、面積比が問われた。（１）は対称移動について。対称の軸をどこに取ると移動できるかを考える。（３）はまず展開図を書いてみよう。
正四面体なので一つの面は正三角形。角度は６０°になるので三平方の定理で長さを計算することができる。（４）は実は円周角の定理の逆。∠ＢＤＣ＝∠ＢＥＣ＝７０°までは分かっても、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅが同一円周上にあると気づくのは難しいかもしれない。そこが分かれば同じ弧に対する円周角は等しいので∠ＣＥＤ＝２０°となり、∠ＤＢＥ＝３０°、ｘ＝４０°と分かる。
（５）は相似を使って面積比を求める問題。向かい合う三角形は相似であることが多い。また隣り合う三角形の面積比は底辺の比になることも用いる。
問３はヒストグラムと箱ひげ図を使った問題。
（１）は中央値。全部で３５人なので１８人目が中央値になる。６０分以上１２０分未満の階級にあるが階級値なので９０分を答える。
（２）は箱ひげ図の読み取り。最大値を考えるとアかウになる。第３四分位数は２７人目なので１８０分以上２４０分未満の階級にある。答えはア。中央値や四分位数以外に平均値、最頻値、範囲など、それぞれの値の求め方は知っておこう。
問４は規則性の問題。
数がある規則にしたがって並んでいる。（１）左端の数は１，４，９・・・となっているので段の数の２乗と分かる。右端は左端の数から段の数−１増やす。７段目の右端は４９＋６で５５になる。
（２）ｎ段目の右端の数はｎの２乗＋ｎ−１。ｎ＋１段目の右端の数も同じようにして表せるので引いてみる。１００になるのはｎ＝４９。
問５は関数の問題。
放物線と直線が引いてある、図としてはよくある形。（１）ｙ＝ｘ＋６上に点Ａ、Ｂのｘ座標を代入すればｙ座標は分かる。あとは放物線に代入すればよい。
（２）は面積比から点Ｐの座標を求める。三角形ＡＯＰをy軸の左右で分けて考えてみる。面積は左側は６×２÷２＝６、右側は６×ｔ÷２＝３ｔで３ｔ＋６になる。三角形ＢＯＰの面積は９−３ｔとなる。あとは比の計算をすればよい。
（３）長方形の周りの長さを式で表して方程式をつくる。このタイプの問題は点Ｐ、Ｑ、Ｒの座標を先にｔで表しておこう。ｘ座標は３つともｔなので、ｙ座標は点Ｐはｔ＋６、点Ｑはｔ２乗、点Ｒは０になる。
長さは「上−下」で考えればよいので、ＰＱの長さはｔ＋６−ｔ２乗、ＱＲの長さはｔ２乗となる。あとは「長方形の周りの長さが等しい」ことから式をつくり解く。因数分解ではなく解の公式になるがｔは出るので問題文にあるｔの範囲に合う方を選ぼう。
問６は連立方程式の文章題。
値段と本数から売上を求める。２日目の午前と午後で値段も本数も違うことに注意。１日目、２日目の午前、２日目の午後で表を作ると分かりやすい。
本数は「２日目が１日目より４０本多かった」なので、「２日目午前＋午後＝１日目＋４０」で式が出来る。売上は５００００円なので「１日目＋２日目午前＋午後＝５００００」でよい。出した解が問題に合っているかの確認は忘れないこと。
問７は図形の証明。
長方形の中と外に線が引かれている。辺の比もある程度分かっている。二つの三角形が合同であることを証明する。長方形なので対辺が等しいことや、平行なので錯角が等しいことが使える。あと一つ角か辺が等しければよい。辺の比を使って角が等しいことを示す。
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