中学三年 第4回 『学習の診断分析』（数学編）
第四回診断テスト分析（数学）
【今回の診断は】
前回よりは難易度は同じくらいと思う。問２の（５）は高校では習うが中学校ではあまり見ないタイプの問題だった。問３の（３）はどの三角形が相似かは分かりやすいが、それを面積にもっていきにくい。
（４）は立体の体積から高さを出さないといけないので戸惑ったかもしれない。問５の関数は（２）がグラフのイメージが問われて珍しい問題。（３）も自転車の式を求め、ｔで表し、引くという３つのことができないと正解にはならない。問７の相似の証明はぜひ出来てほしい。問８の証明は三角形の合同を使うことが分かるかがポイント。垂直であることにどうつなげたらよいかが分かりにくいかもしれない。
【次回の診断は】
１月の第五回の診断になる。平行線と比や相似と面積比・体積比、円周角の定理までが範囲になり、図形が難しくなってくる。普段の学習から丁寧に解いていこう。また冬休みは志望校を絞り込み受験に向けて集中していく時期になる。
一月には第五回の診断の後は私立高校の入試もある。冬休みの間に、やりきれてない単元や苦手な単元を全力で克服しておこう。同時に出来ている問題を確実に点が取れるようにするための練習も必要になる。やることを明確にして頑張っていこう。
問１は計算問題。
文字式の計算、連立方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（３）の連立方程式で。２番目の式は0.5や3.5になっている。１０倍しなくても、２倍で構わない。（４）はまずaでくくる。（）の中も因数分解すること。
問２は計算の応用。
（１）は√と分数を含んだ大小比較。有理化と通分で分母を同じにして比べる。（２）は素因数分解を利用して最大公約数を求める問題。素因数分解をしたあと、２つの数に共通な素因数が最大公約数になる。このことを知らなくても例をよく見て法則を見つけてみよう。（３）は文字式の加減から式を求める問題。求める式をAや□でおいて方程式にして考えるとよい。今回は足し算だったが引き算の場合は符号のミスに気をつけよう。（４）は文字式を変形してから代入する問題。この変形の形は覚えておこう。高校でも出てくるので覚えておくと便利。（５）は平均を使って文字式を表す問題。平均から合計が出せるようにしておこう。
問３は図形の問題。
（１）は図形の性質について問われた。今回はおうぎ形について。面積や弧の長さは中心角に比例する。ひし形や長方形、正方形の定義や性質も覚えておくとよい。
（２）は角度の問題。ブーメラン型。三角形の外角を使って考える。
（３）は相似を使って面積を求める。三角形ＡＢＣ、三角形ＣＢＤ、三角形ＡＣＤはすべて相似になる。三角形ＣＢＤと三角形ＡＣＤを比べると辺ＣＤの長さが出る。面積を求めるためには「底辺×高さ」が必要。辺ＡＢを底辺とすると辺ＣＤは高さになる。÷２を忘れずに。
（４）は立体の体積から垂線の長さを求める問題。展開図を利用する。まずは体積を求める。三角形ＢＣＤを底面と見る。展開図から辺ＢＣ、ＣＤの長さが４と分かるので三角形ＢＣＤの面積は４×４÷２＝８。三角錐ＡＢＣDの体積は８×８÷３で６４／３になる。次に三角形ＡＣＤを底面と見る。展開図から三角形ＡＣＤの面積は正方形から３つの三角形を引けばよいので６４−（１６＋１６＋８）＝２４。２４×ＢＨ÷３＝６４／３を解くとＢＨの長さが求められる。
問４は規則性の問題。
（１）は表の行が増えると数が４ずつ増えてゆくので計算できる。（２）は４ずつ増えるのでｎ列目は４×ｎ＋□にして実際の数を当てはめればよい。ｎ＝１で考えると４×１＋□＝１なので□＝−３。４ｎ−３が答えになる。
（３）は（２）で考えたｎ列の１行目と、ｎ列の３行目を出して和が９８０になる方程式を立てて解く。
問５は２次関数の問題。
（１） では分かっているｘ、ｙの値を代入してａを出す。２次関数の解き始めとしては絶対に出来てほしい問題。
（２）はグラフのイメージが問われている。ｙ＝６００のときのｘなので２次関数とｙ＝６００の直線の交点と考えられる。エが答え。
（３）は（１）で求めた２次関数の式と、（３）で新たに出てきた自転車を表す式で考える。自転車を表す式は秒速５ｍなので傾き５、２０秒後に電車に追いつかれるのでｘ＝２０、ｙ＝４００を代入して、ｙ＝５ｘ＋１００となる。ｔ秒後なのでｘにｔを代入。２０秒までは自転車の方が先に進んでいるので「自転車−電車＝５０」となる式を立てればよい。
問６は２次方程式の文章題。
長方形から４すみを正方形に切り取って箱を作る。容積が３５１なので２次方程式を作る。両辺を３で割っておくと楽になる。解の確かめも忘れないこと。ｘは６より大きくなるので、解は一つになる。
問７は三角形の相似の証明。
とても素直な問題。仮定より２組の辺の比が分かっているので、あとは対頂角が等しいことを示せばよい。２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなる。相似の証明としてはかなり簡単な問題。確実に書けるようにしたい。
問８は２つの辺が垂直であることの証明。
まずは三角形ＡＣＤと三角形ＢＣＥが合同であることを示す。仮定より２組の辺が等しいことが分かっている。また∠ＡＣＢと∠ＢＣＥが９０°で等しい。２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同になる。直角三角形だが斜辺が等しいかどうかは分からないので注意。次に三角形ＡＣＤと三角形ＢＦＤが相似であることを示す。
三角形ＡＣＤと三角形ＢＣＥが合同なので対応する角が等しくなる。∠ＣＡＤ＝∠ＦＢＤ。対頂角が等しいから∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＦ。２組の角がそれぞれ等しいので相似になる。よって∠ＡＣＤ＝∠ＢＦＤ＝９０°になる。∠ＢＦＤ＝９０°だからＡＦ⊥ＢＥといえる。
【今回の診断は】
前回よりは難易度は同じくらいと思う。問２の（５）は高校では習うが中学校ではあまり見ないタイプの問題だった。問３の（３）はどの三角形が相似かは分かりやすいが、それを面積にもっていきにくい。
（４）は立体の体積から高さを出さないといけないので戸惑ったかもしれない。問５の関数は（２）がグラフのイメージが問われて珍しい問題。（３）も自転車の式を求め、ｔで表し、引くという３つのことができないと正解にはならない。問７の相似の証明はぜひ出来てほしい。問８の証明は三角形の合同を使うことが分かるかがポイント。垂直であることにどうつなげたらよいかが分かりにくいかもしれない。
【次回の診断は】
１月の第五回の診断になる。平行線と比や相似と面積比・体積比、円周角の定理までが範囲になり、図形が難しくなってくる。普段の学習から丁寧に解いていこう。また冬休みは志望校を絞り込み受験に向けて集中していく時期になる。
一月には第五回の診断の後は私立高校の入試もある。冬休みの間に、やりきれてない単元や苦手な単元を全力で克服しておこう。同時に出来ている問題を確実に点が取れるようにするための練習も必要になる。やることを明確にして頑張っていこう。
問１は計算問題。
文字式の計算、連立方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（３）の連立方程式で。２番目の式は0.5や3.5になっている。１０倍しなくても、２倍で構わない。（４）はまずaでくくる。（）の中も因数分解すること。
問２は計算の応用。
（１）は√と分数を含んだ大小比較。有理化と通分で分母を同じにして比べる。（２）は素因数分解を利用して最大公約数を求める問題。素因数分解をしたあと、２つの数に共通な素因数が最大公約数になる。このことを知らなくても例をよく見て法則を見つけてみよう。（３）は文字式の加減から式を求める問題。求める式をAや□でおいて方程式にして考えるとよい。今回は足し算だったが引き算の場合は符号のミスに気をつけよう。（４）は文字式を変形してから代入する問題。この変形の形は覚えておこう。高校でも出てくるので覚えておくと便利。（５）は平均を使って文字式を表す問題。平均から合計が出せるようにしておこう。
問３は図形の問題。
（１）は図形の性質について問われた。今回はおうぎ形について。面積や弧の長さは中心角に比例する。ひし形や長方形、正方形の定義や性質も覚えておくとよい。
（２）は角度の問題。ブーメラン型。三角形の外角を使って考える。
（３）は相似を使って面積を求める。三角形ＡＢＣ、三角形ＣＢＤ、三角形ＡＣＤはすべて相似になる。三角形ＣＢＤと三角形ＡＣＤを比べると辺ＣＤの長さが出る。面積を求めるためには「底辺×高さ」が必要。辺ＡＢを底辺とすると辺ＣＤは高さになる。÷２を忘れずに。
（４）は立体の体積から垂線の長さを求める問題。展開図を利用する。まずは体積を求める。三角形ＢＣＤを底面と見る。展開図から辺ＢＣ、ＣＤの長さが４と分かるので三角形ＢＣＤの面積は４×４÷２＝８。三角錐ＡＢＣDの体積は８×８÷３で６４／３になる。次に三角形ＡＣＤを底面と見る。展開図から三角形ＡＣＤの面積は正方形から３つの三角形を引けばよいので６４−（１６＋１６＋８）＝２４。２４×ＢＨ÷３＝６４／３を解くとＢＨの長さが求められる。
問４は規則性の問題。
（１）は表の行が増えると数が４ずつ増えてゆくので計算できる。（２）は４ずつ増えるのでｎ列目は４×ｎ＋□にして実際の数を当てはめればよい。ｎ＝１で考えると４×１＋□＝１なので□＝−３。４ｎ−３が答えになる。
（３）は（２）で考えたｎ列の１行目と、ｎ列の３行目を出して和が９８０になる方程式を立てて解く。
問５は２次関数の問題。
（１） では分かっているｘ、ｙの値を代入してａを出す。２次関数の解き始めとしては絶対に出来てほしい問題。
（２）はグラフのイメージが問われている。ｙ＝６００のときのｘなので２次関数とｙ＝６００の直線の交点と考えられる。エが答え。
（３）は（１）で求めた２次関数の式と、（３）で新たに出てきた自転車を表す式で考える。自転車を表す式は秒速５ｍなので傾き５、２０秒後に電車に追いつかれるのでｘ＝２０、ｙ＝４００を代入して、ｙ＝５ｘ＋１００となる。ｔ秒後なのでｘにｔを代入。２０秒までは自転車の方が先に進んでいるので「自転車−電車＝５０」となる式を立てればよい。
問６は２次方程式の文章題。
長方形から４すみを正方形に切り取って箱を作る。容積が３５１なので２次方程式を作る。両辺を３で割っておくと楽になる。解の確かめも忘れないこと。ｘは６より大きくなるので、解は一つになる。
問７は三角形の相似の証明。
とても素直な問題。仮定より２組の辺の比が分かっているので、あとは対頂角が等しいことを示せばよい。２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなる。相似の証明としてはかなり簡単な問題。確実に書けるようにしたい。
問８は２つの辺が垂直であることの証明。
まずは三角形ＡＣＤと三角形ＢＣＥが合同であることを示す。仮定より２組の辺が等しいことが分かっている。また∠ＡＣＢと∠ＢＣＥが９０°で等しい。２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同になる。直角三角形だが斜辺が等しいかどうかは分からないので注意。次に三角形ＡＣＤと三角形ＢＦＤが相似であることを示す。
三角形ＡＣＤと三角形ＢＣＥが合同なので対応する角が等しくなる。∠ＣＡＤ＝∠ＦＢＤ。対頂角が等しいから∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＦ。２組の角がそれぞれ等しいので相似になる。よって∠ＡＣＤ＝∠ＢＦＤ＝９０°になる。∠ＢＦＤ＝９０°だからＡＦ⊥ＢＥといえる。
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