中学三年 第3回 『学習の診断分析』（数学編）
第三回診断テスト分析（数学）
【今回の診断は】
前回よりは同じくらいの難易度だった。解きやすい問題と分かりにくい問題が混ざっているイメージ。問２では計算をがんばれば出来る問題が無く、どの公式かが問われたり、比がa：bで考えにくい問題が出てきた。問３は図で惑わしたり、（５）のような難しい問題が出た。問５の箱ひげ図は診断の定番になってきた。問われている内容は難しくなかったが、図を見て判断しないといけない。
高校でも必要なので今から慣れておこう。問６の文字を使う証明は入試で問われることもあるので、出来なかったなら復習しておこう。今回は出なかったが「連続する２つの奇数」などを文字できちんと表せるようにしておきたい。
【次回の診断は】
２次関数と相似な図形までが範囲になる。２次関数は受験でもよく出題される単元。ａの求め方、変域や変化の割合、グラフと直線や面積の問題などを解けるようにしておこう。また相似な図形は中三後半の図形の内容の基礎となる。ここが分かってないと、中三で習う図形全体を苦戦する。特に比の計算には慣れておこう。
この時期は定期テストと診断の間隔が短く、どのように勉強をしたらいいか悩むかもしれない。中三の二学期の定期テストは内申点に大きく関係する。まずは学校で習う内容を確実に出来るようにした方がよい。志望校を悩んだりと大変だと思うが、今やるべき事に集中して、がんばっていこう。
【問１】
計算問題。正負の数、文字式の計算、一次方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（４）の因数分解はまずa+bを別の文字Mで表そう。そうすると、よく見かける因数分解の形になる。最後にMをa+bに戻すことを忘れないこと。
学習した単元で計算問題として出やすいのはここまでになる。問１で点を落とすのはもったいない。とにかく計算の練習をして、確実にここで点を取るようにしよう。
【問２】
計算の応用。
計算結果がいつでも負になるもの、文字式が図形の何を表しているか、数量を比を使って文字式で表す、分数と平方根を含む数の大小を考える問題などが出題された。
（１）はaは正、bは負の数。分かりにくい場合はa＝２、b＝−２などの具体的な数で考える。ただウのa×bやエのa÷bは深く考えなくても必ず負になると分かりたい。
（２）は難しくはないが今まであまり見なかった問題。式を見て円柱の体積だと分かればよい。二学期後半から中三も図形に入る。体積や面積の公式を覚えておこう。
（３）比で表して砂糖の量を求める。数字ではなくa：bなので戸惑ったかもしれないがやり方は同じ。（４）はまず√が付いてない数字を二乗して√に直す。√の中の数字を比べると４＜n/２＜６．２５。２倍すると８＜n＜１２．５なのでnは９、１０、１１、１２の４つになる。
【問３】
図形からの出題。
（１）は円と接線の関係について。「接線⊥接点を通る半径」となる。図だと直線ｌとｎも垂直に見えるが、直線ｌは図の位置とは限らない。図に惑わされないようにしよう。
（２）は図形の移動について。どう移動させたら重なるかイメージしよう。「反時計回りに６０°回転」や「時計回りに１２０°回転」となっている。理科でも出てくるので慣れておこう。
（３）は角度の問題。二等辺三角形の性質を使う。ＢＤに補助線を引けば二等辺三角形が２つ出来る。頂角が分かれば残りの２つの底角は分かる。
（４）は立体の体積を求める問題。回転すると球の半分と円錐が出来る。公式をきちんと覚えておこう。
（５）は難しかった。まずＥＤ、ＥＣに補助線を引くと三角形ＡＥＤと三角形ＢＥＣができる。三角形ＡＥＤの面積は３０平方�僉∋鯵儼腺贈釘辰量明僂錬苅喫進��僂箸覆襦Ｂ羞腺腺贈達弔量明僂錬隠毅以進��僂覆里濃鯵儼腺庁釘辰量明僂錬沓喫進��僉�線分ＥＦが台形ＡＢＣＤの面積を２等分するには三角形ＤＥＦの面積が４５平方�僉∋鯵儼腺達釘討量明僂�３０平方�僂砲覆譴个茲ぁ�つまり線分ＥＦは三角形ＤＥＣを３：２に分けることになる。
【問４】
関数の問題。
様々なタイプの関数について聞かれていた。
（１）は比例と反比例の性質について。共通点について聞かれた。アは比例だけ、ウは反比例だけの性質。エは２次関数でも出てくる表現なので知っておこう。これは式によって変わるが出てきた反比例だと違う。イ、オが正解。
（２）は１次関数の変域について。ｘの値を代入すればよい。大小に気を付けておこう。
（３）は１次関数。�，賄寸舛硲造虜舵犬�分かっているので直線の傾きを計算する。�△賄寸个裡�座標はaとなっているので�，嚢佑┐芯樟�ＡＢの式に当てはめると点Ｐ、Ｑ、Ｒの座標はaで表される。ＰＱ：ＰＲが３：１なので比の式を作り計算するとaが分かる。
【問５】
箱ひげ図の問題。
箱ひげ図からは最大値と最小値や第１、第２、第３四分位数が分かる。
（１）は範囲＝最大値−最小値を知っていれば解ける。
（２）は箱ひげ図の読み取り。２０人のデータなので中央値は１０人目と１１人目の中間になる。アは２日後の方が明らかに大きい。イはそれぞれの生徒の変化は分からない。オは中央値は２日後の方が大きいが、人数が多いかどうかは読み取れない。ウ、エが正解になる。今回は問われなかったが、箱ひげ図からは平均値は求められないことも覚えておこう。
【問６】
文字を使っての証明。
まず２けたの自然数が「１０ａ＋ｂ」の形になることは覚えておこう。問２などでも問われることがあるので、まずはここが出来るようにしよう。「十の位の数と一の位の数を入れかえた」は「１０ｂ＋ａ」になるので、差は「９ａ−ｂ」になる。「９の倍数」であることを証明するので、「９（ａ−ｂ）」の形になるように変形する。「ａ、ｂは整数」などの必要な語句を書き忘れないようにしよう。
【問７】
２次方程式の文章題。
長方形の中に通路があり残った部分の面積を考える。通路の幅は２ｍと分かっている。長方形の縦の長さはｘ、横の長さは縦の長さの３倍となっているので３ｘになる。斜線部の縦の長さはｘ−２、横の長さは３ｘなので２次方程式を作ることができる。ｘの確認も忘れないようにしよう。ｘ＞２になるのでｘ＝７のとき問題に合う。
【問８】
図形の証明。
ＡＥ＝ＢＤを示す。そのためにまずは三角形ＢＣＤと三角形ＥＣＤの合同を考える。角の二等分線や直角が仮定で分かっているので直角三角形の合同条件を使って証明してゆく。
その後、対応している辺が等しいので「ＢＤ＝ＥＤ」、三角形ＡＢＣが直角二等辺三角形であることを用いて、三角形ＡＤＥも直角二等辺三角形であることを示す。「ＡＥ＝ＥＤ」となるので「ＡＥ＝ＥＤ＝ＢＤ」となりＡＥ＝ＢＤがいえる。
【今回の診断は】
前回よりは同じくらいの難易度だった。解きやすい問題と分かりにくい問題が混ざっているイメージ。問２では計算をがんばれば出来る問題が無く、どの公式かが問われたり、比がa：bで考えにくい問題が出てきた。問３は図で惑わしたり、（５）のような難しい問題が出た。問５の箱ひげ図は診断の定番になってきた。問われている内容は難しくなかったが、図を見て判断しないといけない。
高校でも必要なので今から慣れておこう。問６の文字を使う証明は入試で問われることもあるので、出来なかったなら復習しておこう。今回は出なかったが「連続する２つの奇数」などを文字できちんと表せるようにしておきたい。
【次回の診断は】
２次関数と相似な図形までが範囲になる。２次関数は受験でもよく出題される単元。ａの求め方、変域や変化の割合、グラフと直線や面積の問題などを解けるようにしておこう。また相似な図形は中三後半の図形の内容の基礎となる。ここが分かってないと、中三で習う図形全体を苦戦する。特に比の計算には慣れておこう。
この時期は定期テストと診断の間隔が短く、どのように勉強をしたらいいか悩むかもしれない。中三の二学期の定期テストは内申点に大きく関係する。まずは学校で習う内容を確実に出来るようにした方がよい。志望校を悩んだりと大変だと思うが、今やるべき事に集中して、がんばっていこう。
【問１】
計算問題。正負の数、文字式の計算、一次方程式、因数分解、平方根、２次方程式が出題された。（４）の因数分解はまずa+bを別の文字Mで表そう。そうすると、よく見かける因数分解の形になる。最後にMをa+bに戻すことを忘れないこと。
学習した単元で計算問題として出やすいのはここまでになる。問１で点を落とすのはもったいない。とにかく計算の練習をして、確実にここで点を取るようにしよう。
【問２】
計算の応用。
計算結果がいつでも負になるもの、文字式が図形の何を表しているか、数量を比を使って文字式で表す、分数と平方根を含む数の大小を考える問題などが出題された。
（１）はaは正、bは負の数。分かりにくい場合はa＝２、b＝−２などの具体的な数で考える。ただウのa×bやエのa÷bは深く考えなくても必ず負になると分かりたい。
（２）は難しくはないが今まであまり見なかった問題。式を見て円柱の体積だと分かればよい。二学期後半から中三も図形に入る。体積や面積の公式を覚えておこう。
（３）比で表して砂糖の量を求める。数字ではなくa：bなので戸惑ったかもしれないがやり方は同じ。（４）はまず√が付いてない数字を二乗して√に直す。√の中の数字を比べると４＜n/２＜６．２５。２倍すると８＜n＜１２．５なのでnは９、１０、１１、１２の４つになる。
【問３】
図形からの出題。
（１）は円と接線の関係について。「接線⊥接点を通る半径」となる。図だと直線ｌとｎも垂直に見えるが、直線ｌは図の位置とは限らない。図に惑わされないようにしよう。
（２）は図形の移動について。どう移動させたら重なるかイメージしよう。「反時計回りに６０°回転」や「時計回りに１２０°回転」となっている。理科でも出てくるので慣れておこう。
（３）は角度の問題。二等辺三角形の性質を使う。ＢＤに補助線を引けば二等辺三角形が２つ出来る。頂角が分かれば残りの２つの底角は分かる。
（４）は立体の体積を求める問題。回転すると球の半分と円錐が出来る。公式をきちんと覚えておこう。
（５）は難しかった。まずＥＤ、ＥＣに補助線を引くと三角形ＡＥＤと三角形ＢＥＣができる。三角形ＡＥＤの面積は３０平方�僉∋鯵儼腺贈釘辰量明僂錬苅喫進��僂箸覆襦Ｂ羞腺腺贈達弔量明僂錬隠毅以進��僂覆里濃鯵儼腺庁釘辰量明僂錬沓喫進��僉�線分ＥＦが台形ＡＢＣＤの面積を２等分するには三角形ＤＥＦの面積が４５平方�僉∋鯵儼腺達釘討量明僂�３０平方�僂砲覆譴个茲ぁ�つまり線分ＥＦは三角形ＤＥＣを３：２に分けることになる。
【問４】
関数の問題。
様々なタイプの関数について聞かれていた。
（１）は比例と反比例の性質について。共通点について聞かれた。アは比例だけ、ウは反比例だけの性質。エは２次関数でも出てくる表現なので知っておこう。これは式によって変わるが出てきた反比例だと違う。イ、オが正解。
（２）は１次関数の変域について。ｘの値を代入すればよい。大小に気を付けておこう。
（３）は１次関数。�，賄寸舛硲造虜舵犬�分かっているので直線の傾きを計算する。�△賄寸个裡�座標はaとなっているので�，嚢佑┐芯樟�ＡＢの式に当てはめると点Ｐ、Ｑ、Ｒの座標はaで表される。ＰＱ：ＰＲが３：１なので比の式を作り計算するとaが分かる。
【問５】
箱ひげ図の問題。
箱ひげ図からは最大値と最小値や第１、第２、第３四分位数が分かる。
（１）は範囲＝最大値−最小値を知っていれば解ける。
（２）は箱ひげ図の読み取り。２０人のデータなので中央値は１０人目と１１人目の中間になる。アは２日後の方が明らかに大きい。イはそれぞれの生徒の変化は分からない。オは中央値は２日後の方が大きいが、人数が多いかどうかは読み取れない。ウ、エが正解になる。今回は問われなかったが、箱ひげ図からは平均値は求められないことも覚えておこう。
【問６】
文字を使っての証明。
まず２けたの自然数が「１０ａ＋ｂ」の形になることは覚えておこう。問２などでも問われることがあるので、まずはここが出来るようにしよう。「十の位の数と一の位の数を入れかえた」は「１０ｂ＋ａ」になるので、差は「９ａ−ｂ」になる。「９の倍数」であることを証明するので、「９（ａ−ｂ）」の形になるように変形する。「ａ、ｂは整数」などの必要な語句を書き忘れないようにしよう。
【問７】
２次方程式の文章題。
長方形の中に通路があり残った部分の面積を考える。通路の幅は２ｍと分かっている。長方形の縦の長さはｘ、横の長さは縦の長さの３倍となっているので３ｘになる。斜線部の縦の長さはｘ−２、横の長さは３ｘなので２次方程式を作ることができる。ｘの確認も忘れないようにしよう。ｘ＞２になるのでｘ＝７のとき問題に合う。
【問８】
図形の証明。
ＡＥ＝ＢＤを示す。そのためにまずは三角形ＢＣＤと三角形ＥＣＤの合同を考える。角の二等分線や直角が仮定で分かっているので直角三角形の合同条件を使って証明してゆく。
その後、対応している辺が等しいので「ＢＤ＝ＥＤ」、三角形ＡＢＣが直角二等辺三角形であることを用いて、三角形ＡＤＥも直角二等辺三角形であることを示す。「ＡＥ＝ＥＤ」となるので「ＡＥ＝ＥＤ＝ＢＤ」となりＡＥ＝ＢＤがいえる。
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